METODOS NUMERICOS: COMPETENCIA 2

CONTENIDO

1. INTRODUCCIÓN
2. Sistema de ecuaciones no lineales
2.1. Métodos cerrados
2.2. Métodos abiertos
3. Métodos iterativos
3.1. Raíces de funciones
4. Método del punto fijo
4.1. Método de interacción del punto fijo
4.2. Descripción del método
4.3. Algoritmo para iteración de punto fijo
5. Método de newton-Raphson
5.1 Procedimiento del método de newton
6. Método de la secante
7. Método de la bisección
8. Método del gradiente
9. Algoritmo
10. Conclusión
11. Bibliografía

INTRODUCCIÓN

En este segundo blog que comprende el contenido de la segunda unidad de aprendizaje se mostraran una serie de procesos numéricos que fungen de manera importante pero un tanto desapercibida por la sociedad en general, en la obtención de resultados que propicien una cierta importancia al individuo, para la concepción del estado de capital en el que se encuentran de manera generalizada. Teniendo en cuenta que el propósito no general de los métodos numéricos es la obtención de resultados con una cierta aproximación ala realidad.

2. Sistema de ecuaciones no lineales

representan sistemas cuyo comportamiento no es expresable como la suma de los comportamientos de sus descriptores. Más formalmente, un sistema físico, matemático o de otro tipo es no lineal cuando las ecuaciones de movimiento, evolución o comportamiento que regulan su comportamiento son no lineales. En particular, el comportamiento de sistemas no lineales no está sujeto al principio de superposición, como lo es un sistema lineal.

En diversas ramas de las ciencias la no linealidad es la responsable de la comportamientos complejos y, frecuentemente, impredictibles o caóticos. La no linealidad frecuentemente aparece ligada a la autointeracción, el efecto sobre el propio sistema del estado anterior del sistema. En física, biología o economía la no linealidad de diversos subsistemas es una fuente de problemas complejos, en las últimas décadas la aparición de los ordenadores digitales y la simulación numérica ha disparado el interés científico por los sistemas no lineales, ya que por primera vez muchos sistemas han podido ser investigados de manera más o menos sistemática.

2.1. Métodos cerrados

Se parte de un intervalo en el que se sabe que hay al menos una raíz y convergen siempre, método de la Bisección

2.2. Métodos abiertos

Los métodos cerrados se caracterizan porque una función cambia de signo en un intervalo que encierra la raíz y porque para desarrollar el algoritmo donde se encuentra la raíz necesita de dos valores iniciales (límite inferior y límite superior) entre los cuales se encuentra la misma.

3. Métodos iterativos

Un método iterativo trata de resolver un problema matemático (como una ecuación o un sistema de ecuaciones) mediante aproximaciones sucesivas a la solución, empezando desde una estimación inicial. Esta aproximación contrasta con los métodos directos, que tratan de resolver el problema de una sola vez (como resolver un sistema de ecuaciones Ax=b encontrando la inversa de la matriz A). Los métodos iterativos son útiles para resolver problemas que involucran un número grande de variables (a veces del orden de millones), donde los métodos directos tendrían un coste prohibitivo incluso con la potencia del mejor computador disponible.

3.1. Raíces de funciones

se conoce como raíz (o cero) de un polinomio o de una función (definida sobre un cierto cuerpo algebraico) f(x) a todo elemento x perteneciente al dominio de dicha función tal que se cumpla:

$f(x)=0\,$ .

Por ejemplo, dada la función:

$f(x)=x^{2}-6x+8\,$

Planteando y resolviendo la ecuación:

$0=x^{2}-6x+8\,$

EJEMPLO

4. Método del punto fijo

El método del punto fijo es un método iterativo que permite resolver sistemas de ecuaciones no necesariamente lineales. En particular se puede utilizar para determinar raíces de una función de la forma

, siempre y cuando se cumplan los criterios de convergencia.

EJEMPLO

Usando el método de punto fijo vamos a aproximar la solución de la ecuación

dentro del intervalo

.
Lo primero es buscar una función

adecuada

$\displaystyle x^3 + 4x^2 - 10$	$\displaystyle =$	0
$\displaystyle x^2 \left(x + 4 \right)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 10$
$\displaystyle x$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \pm \sqrt{\frac{10}{x+4}}$

Y claramente elegimos como función iteradora a

$\displaystyle g(x) = \sqrt{\frac{10}{x+4}}$

además observe que

$\displaystyle \bigr\vert g^{\prime}(x) \bigr\vert = \frac{\sqrt{10}}{2\left( x +4 \right)^{3/2}} \leq g(2) < 1$

para toda $x \in [1,2]$ , lo cual garantiza que la sucesión que vamos a construir va a ser convergente.

4.2. Descripción del método

empieza con una estimación o conjetura inicial de

, que es mejorada por iteración hasta alcanzar la convergencia. Para que converja, la derivada

debe ser menor que 1 en magnitud (al menos para los valores x que se encuentran durante las iteraciones). La convergencia será establecida mediante el requisito de que el cambio en

de una iteración a la siguiente no sea mayor en magnitud que alguna pequeña cantidad ε.

4.3. Algoritmo para iteración de punto fijo

1. Se ubica la raíz de

f(x)

analizando la gráfica.

2. Se despeja de manera:

x=g(x)

3. Obtenemos de

x=g(x)

su derivada

g\prime (x)

4. Resolviendo la desigualdad -1 ≤

g\prime (x)

≤ 1 obtenemos el rango de valores en los cuales esta el punto fijo llamado R.

5. Con R buscamos la raíz en

g(x)

, es decir

g(R)=R

haciendo iteración de las operaciones.

5. Método de newton-Raphson

En análisis numérico, el método de Newton (conocido también como el método de Newton-Raphson o el método de Newton-Fourier) es un algoritmo para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.

5.1 Procedimiento del método de newton

Tres son las formas principales por las que tradicionalmente se ha obtenido el algoritmo de Newton-Raphson.

La primera de ellas es una simple interpretación geométrica. En efecto, atendiendo al desarrollo geométrico del método de la secante, podría pensarse en que si los puntos de iteración están lo suficientemente cerca (a una distancia infinitesimal), entonces la secante se sustituye por la tangente a la curva en el punto. Así pues, si por un punto de iteración trazamos la tangente a la curva, por extensión con el método de la secante, el nuevo punto de iteración se tomará como la abscisa en el origen de la tangente (punto de corte de la tangente con el eje X). Esto es equivalente a linealizar la función, es decir, f se reemplaza por una recta tal que contiene al punto ({0}}

({0}}

)) y cuya pendiente coincide con la derivada de la función en el punto, {{0})}

. La nueva aproximación a la raíz, {{1}}

, se logra de la intersección de la función lineal con el eje X de abscisas. Matemáticamente:
$f'(x_{n})={\frac {f(x_{n})}{x_{n}-x_{{n+1}}}}$

Una forma alternativa de obtener el algoritmo es desarrollando la función f (x) en serie de Taylor, para un entorno del punto {{n}}

:
$f(x)=f(x_{n})+f'(x_{n})(x-x_{n})+(x-x_{n})^{2}{\frac {f''(x_{n})}{2!}}+...\,$
Si se trunca el desarrollo a partir del término de grado 2, y evaluamos en {{n+1}}

:
$f(x_{{n+1}})=f(x_{n})+f'(x_{n})(x_{{n+1}}-x_{n})\,$

Si además se acepta que {{n+1}}

tiende a la raíz, se ha de cumplir que {{n+1})=0}

, luego, sustituyendo en la expresión anterior, obtenemos el algoritmo.

Finalmente, hay que indicar que el método de Newton-Raphson puede interpretarse como un método de iteración de punto fijo. Así, dada la ecuación

, se puede considerar el siguiente método de iteración de punto fijo:
$g(x)=x+h(x)f(x)\,$
Se escoge h (x) de manera que g'(r)=0 (r es la raíz buscada). Dado que g'(r) es:
$g'(r)=1+h'(r)f(r)+h(r)f'(r)=1+h(r)f'(r)\,$
Entonces:
$h(r)={\frac {-1}{f'(r)}}$
Como h (x) no tiene que ser única, se escoge de la forma más sencilla:
$h(x)={\frac {-1}{f'(x)}}$
Por tanto, imponiendo subíndices:
$g(x_{n})=x_{{n+1}}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}$
Expresión que coincide con la del algoritmo de Newton-Raphson

6. Método de la secante

7. Método de la bisección

Sin mucha precisión, el método de bisección consiste en lo siguiente:

1. Subdividir en dos partes el intervalo en que se sabe que la función cambia de signo y tiene una sola raíz.

2. Averiguar, utilizando el Teorema de Bolzano, en cual de las dos mitades se encuentra la raiz y descartar la otra mitad del intervalo.

3. Reiniciar este proceso con el subintervalo elegido.

4. Continuar con este proceso hasta que el subintervalo elegido tenga una longitud lo suficientemente pequeña como para que cualquiera de sus puntos sea una aproximación aceptable de la solución. La elección óptima como aproximación es, entonces, el punto medio del subintervalo.

8. Método del gradiente

el método del gradiente conjugado es un algoritmo para resolver numéricamente los sistemas de ecuaciones lineales cuyas matrices son simétricas y definidas positivas. Es un método iterativo, así que se puede aplicar a los sistemas dispersos que son demasiado grandes para ser tratados por métodos directos como la descomposición de Cholesky. Tales sistemas surgen frecuentemente cuando se resuelve numéricamente las ecuaciones en derivadas parciales.

El método del gradiente conjugado se puede utilizar también para resolver los problemas de optimización sin restricciones como la minimización de la energía.

El método del gradiente biconjugado proporciona una generalización para matrices no simétricas. Varios métodos del gradiente conjugado no lineales busca los mínimos de las ecuaciones no lineales.

9. Algoritmo

10. Conclusión

De manera predeterminada con esto podemos afirmar, que sin lugar a dudas los métodos numéricos, son de gran utilidad para la participación de búsqueda y obtención de resultados para la satisfacción de determinados problemas que influyen en la vida cotidiana de las personas.

11. Bibliografía

capitulo de la segunda unidad

paginas com`plementarias de internet.

https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_del_gradiente_conjugado

http://ocw.upm.es/matematica-aplicada/programacion-y-metodos-numericos/contenidos/TEMA_7/Ej_Res/Ej_Res_SLIN_6.pdf

http://personales.upv.es/dginesta/docencia/posgrado/gradiente.pdf

http://departamento.us.es/edan/php/asig/GRABIO/GBM/Tema4.pdf

http://webdelprofesor.ula.ve/nucleotachira/vermig/CLASE1.pdf

METODOS NUMERICOS

Páginas

COMPETENCIA 2

No hay comentarios:

Publicar un comentario