METODOS NUMERICOS: COMPETENCIA 3

CONTENIDO

INTRODUCCIÓN
3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
3.1 MATRICES
3.1.1 OPERACIONES CON MATRICES
3.2 VECTORES
3.3 ELIMINACIÓN GAUSS.
3.4 MÉTODO DE GAUSS-JORDAN.
3.5 ESTRATEGIAS DE PIVOTEO.
3.6 MÉTODO DE CHOLESKY
3.7 MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN LU
3.8 MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL.
3.9 MÉTODO ITERATIVO
3.9.1 MÉTODO JACOBI
3.9.2 APLICACIONES

INTRODUCCIÓN

los métodos numéricos, son el ejemplo mas efectivo y aplicable a concepción de la realidad que percibimos, en el ente natural, puesto que gracias a ellos tenemos, no solo la capacidad de percibir losestándares que constituyen un todo o una proporción de este, sino la idea de participar en conjunto con una serie de proporciones de medición de las cosas como entes sociales, culturales, materiales etc.,

3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

$\left\{{\begin{array}{rcrcrcr}3\,x_{1}&+&2\,x_{2}&+&\,x_{3}&=&1\\2\,x_{1}&+&2\,x_{2}&+&4\,x_{3}&=&-2\\-\,x_{1}&+&{\frac {1}{2}}\,x_{2}&-&\,x_{3}&=&0\end{array}}\right.$

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

3.1 MATRICES

una matriz es un arreglo bidimensional de números. Dado que puede definirse tanto la suma como el producto de matrices, en mayor generalidad se dice que son elementos de un anillo. Una matriz se representa por medio de una letra mayúscula(A,B..) y sus elementos con la misma letra en minúscula (a,b...), con un doble subíndice donde el primero indica la fila y el segundo la columna a la que pertenece.

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}$

Los elementos individuales de una matriz

, a menudo denotados por

, donde el máximo valor de sus elementos (

) en

, y el máximo valor de

. Siempre que la matriz tenga el mismo número de filas y de columnas que otra matriz, estas se pueden sumar o restar elemento por elemento.

Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar transformaciones lineales dada una base. En este último caso, las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.

Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

3.1.1 OPERACIONES CON MATRICES

SUMA DE MATRICES

La suma de matrices C = A+ B se define como cij = aij bij . Esto es, la suma de matrices es igual a la suma de los elementos correspondientes de ambas matrices que tienen el mismo orden.

DIFERENCIA DE MATRICES

MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES.

3.2 VECTORES

LAS MATRICES DONDE M >1 Y N = 1 (ES DECIR, ESTÁN FORMADAS POR UNA SOLA COLUMNA) SON LLAMADAS MATRICES COLUMNA O VECTORES. DE IGUAL MANERA, SI M = 1 Y N >1, SE TIENE UNA MATRIZ FILA O VECTOR. LOS VECTORES SE DENOTARÁN CON LAS LETRAS MINÚSCULAS EN NEGRITAS: B, X, ETC. EN ESTOS CASOS NO SERÁ NECESARIA LA UTILIZACIÓN DE DOBLE SUBÍNDICE PARA LA IDENTIFICACIÓN DE SUS ELEMENTOS Y UN VECTOR X DE M ELEMENTOS (EN COLUMNA) QUEDA SIMPLEMENTE COMO:

SUMA DE VECTORES

RESTA DE VECTORES

3.3 ELIMINACIÓN GAUSS.

En matemáticas, la eliminación de Gauss, llamada así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal.

3.4 MÉTODO DE GAUSS-JORDAN.

El método de Gauss-Jordan utiliza operaciones con matrices para resolver sistemas de ecuaciones de n numero de variables. Para aplicar este método solo hay que recordar que cada operación que se realice se aplicara a toda la fila o a toda la columna en su caso. El objetivo de este método es tratar de convertir la parte de la matriz donde están los coeficientes de las variables en una matriz identidad. Esto se logra mediante simples operaciones de suma, resta y multiplicación. El procedimiento es el siguiente: Primero se debe tener ya el sistema de ecuaciones que se quiere resolver y que puede ser de n numero de variables por ejemplo:

-3x+3y+2z=1

4x+y-z=2

x-2y+z=3

Para hacer cero el siguiente renglón simplemente hay que multiplicar por –1 al primer renglón sumarlo al tercero:

Ahora necesitamos ceros en las posiciones a13 y a23. Dividir entre ⅓ R3 y sumarlo a R1 nos permitirá encontrar uno de ellos:

REGLA DE CRAMER

ESTA REGLA ESTABLECE QUE CADA INCÓGNITA DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES ALGEBRAICAS PUEDE EXPRESARSE COMO UNA FRACCIÓN DE DOS DETERMINANTES CON DENOMINADOR D Y CON EL NUMERADOR OBTENIDO A PARTIR DE D, AL REEMPLAZAR LA COLUMNA DE COEFICIENTES DE LA INCÓGNITA EN CUESTIÓN POR LAS CONSTANTES b1 , b2 , … , bn. POR EJEMPLO, x1 SE CALCULA COMO

DETERMINANTES

3.7 MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN LU

RECORDEMOS, QUE UNA MATRIZ REGULAR A, ADMITE UNA FACTORIZACIÓN DE LA FORMA PA=LU DONDE P ES UNA MATRIZ DE PERMUTACIÓN DE FILAS, L ES UNA MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR Y U ES UNA MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR. Y SEA EL SISTEMA DE ECUACIONES [A][X]=[B] AUNQUE LA ELIMINACIÓN GAUSS REPRESENTA UNA FORMA SATISFACTORIA PARA RESOLVER TALES SISTEMAS, RESULTA INEFICIENTE CUANDO DEBEN RESOLVERSE ECUACIONES CON LOS MISMOS COEFICIENTES [A], PERO CON DIFERENTES CONSTANTES DEL LADO DERECHO (LAS B). LOS MÉTODOS DE DESCOMPOSICIÓN LU SEPARAN EL TIEMPO USADO EN LAS ELIMINACIONES PARA LA MATRIZ [A] DE LAS MANIPULACIONES EN EL LADO DERECHO {B}. UNA VEZ QUE [A] SE HA “DESCOMPUESTO”, LOS MÚLTIPLES VECTORES DEL LADO DERECHO {B} SE PUEDEN EVALUAR DE MANERA EFICIENTE.

3.8 MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL.

En análisis numérico el método de Gauss-Seidel es un método iterativo utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método se llama así en honor a los matemáticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidel y es similar al método de Jacobi.

Aunque este método puede aplicarse a cualquier sistema de ecuaciones lineales que produzca una matriz (cuadrada, naturalmente pues para que exista solución única, el sistema debe tener tantas ecuaciones como incógnitas) de coeficientes con los elementos de su diagonal no-nulos, la convergencia del método solo se garantiza si la matriz es diagonalmente dominante o si es simétrica y, a la vez, definida positiva.

Es un método iterativo, lo que significa que se parte de una aproximación inicial y se repite el proceso hasta llegar a una solución con un margen de error tan pequeño como se quiera. Buscamos la solución a un sistema de ecuaciones lineales, en notación matricial:

Ax=b,\,

donde:

A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}},\qquad x={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},\qquad b={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}.

El método de iteración Gauss-Seidel se computa, para la iteración

(k+1)\,

x^{(k+1)}=Mx^{(k)}+c.\,

donde

A=N-P\,

definimos

M=N^{-1}P\,

c=N^{-1}b\,

donde los coeficientes de la matriz N se definen como

n_{ij}=a_{ij}\,

i{\leq }j

n_{ij}=0\,

i>j\,

Considerando el sistema

con la condición de que

. Entonces podemos escribir la fórmula de iteración del método

x_{i}^{(k+1)}={\frac {-\sum _{1{\leq }j{\leq }i-1}a_{ij}x_{j}^{(k+1)}-\sum _{i+1{\leq }j{\leq }n}a_{ij}x_{j}^{(k)}+b_{i}}{a_{ii}}},i=1,...,n\,

(*)

La diferencia entre este método y el de Jacobi es que, en este último, las mejoras a las aproximaciones no se utilizan hasta completar las iteraciones.

3.9.1 MÉTODO JACOBI

En análisis numérico el método de Jacobi es un método iterativo, usado para resolver sistemas de ecuaciones lineales del tipo

. El algoritmo toma su nombre del matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi. El método de Jacobi consiste en usar fórmulas como iteración de punto fijo.

La base del método consiste en construir una sucesión convergente definida iterativamente. El límite de esta sucesión es precisamente la solución del sistema. A efectos prácticos si el algoritmo se detiene después de un número finito de pasos se llega a una aproximación al valor de x de la solución del sistema.La sucesión se construye descomponiendo la matriz del sistema

en la forma siguiente:

${\mathit {A}}={\mathit {D}}+{\mathit {R}}$

donde

, es una matriz diagonal y

, es la suma de una matriz triangular inferior

y una matriz triangular superior

, luego

. Partiendo de

, podemos reescribir dicha ecuación como:

${\mathit {D}}\mathbf {x} +{\mathit {R}}\mathbf {x} =\mathbf {b}$

Luego,

$\mathbf {x} ={\mathit {D}}^{-1}\left(\mathbf {b} -{\mathit {R}}\mathbf {x} \right)$

Si aii ≠ 0 para cada i. Por la regla iterativa, la definición del Método de Jacobi puede ser expresado de la forma:

$\mathbf {x} ^{\left(k+1\right)}={\mathit {D}}^{-1}\left(\mathbf {b} -{\mathit {R}}\mathbf {x} ^{(k)}\right)$

donde

es el contador de iteración, Finalmente tenemos:

$x_{i}^{\left(k+1\right)}={\frac {1}{a_{ii}}}\left(b_{i}-\sum \limits _{j\neq i}{a_{ij}x_{j}^{\left(k\right)}}\right),i=1,2,3,...$

Cabe destacar que al calcular xi(k+1) se necesitan todos los elementos en x(k), excepto el que tenga el mismo i. Por eso, al contrario que en el método Gauss-Seidel, no se puede sobre escribir xi(k) con xi(k+1), ya que su valor será necesario para el resto de los cálculos. Esta es la diferencia más significativa entre los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel. La cantidad mínima de almacenamiento es de dos vectores de dimensión n, y será necesario realizar un copiado explícito.

CONCLUSIÓN

Con esta complementación ala unidad numero 3, podemos darnos cuenta que los sistemas de solución para las interacciones en las ecuaciones lineales, son de mucha importancia en la indagación y formulación de resultados.

BIBLIOGRÁFICA

APUNTES DE CLASE

https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)

http://132.248.164.227/publicaciones/docs/apuntes_matematicas/33.%20Matrices.pdf

https://www.aiu.edu/cursos/matematica/pdf%20leccion%203/lecci%C3%B3n%203.4.pdf

https://www.google.com.mx/search?biw=1366&bih=662&ei=gDAOW5DGB6a7tgWK_4HgBA&q=M%C3%89TODO+JACOBI+&oq=M%C3%89TODO+JACOBI+&gs_l=psy-ab.3...437906.445347.0.445783.9.7.0.0.0.0.217.910.1j5j1.7.0....0...1c.1.64.psy-ab..4.0.0....0.aJGaO9GiE58

https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Jacobi

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COMPETENCIA 3

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