COMPETENCIA 4

Contenido

1. Introducción
2. Integración y diferenciación numérica
2.1. Método del trapezoidal
2.2. Ejercicios
2.3. Métodos de newton-cotes
2.4. Método trapezoidal compuesto
3. Regla de Simpson 1/3
3.1. Regla de Simpson 3/8
4. Cuadratura de Gauss
4.1. Formula de cuadratura de Gauss con dos puntos
5. Diferenciación numérica
6. conclusión
7. Bibliografía

INTRODUCCIÓN.
Partiendo de la idea principal y objetiva de plantear los pasas y objetivos de la correcta aplicación de parte del calculo integral y diferencial pondremos a ejecución una serie de pasos aplicados en la obtención de resultados para situaciones reales de la vida cotidiana.




2. Integración y diferenciación numérica
2.1. Método del trapezoidal

Trapezoidal
Los ingenieros encuentran con frecuencia el problema de integrar funciones que están definidas en forma tabular o en forma gráfica y no como funciones explícitas, se pueden utilizar métodos gráficos, pero los métodos numéricos son mucho mas precisos.
La integración numérica consiste en encontrar una buena aproximación al área bajo la curva que representa una función f(x), que ha sido determinada a partir de datos experimentales o a partir de una expresión matemática.
Las formulas de cuadratura de Newton-Cotes son los procedimientos mas comunes de integración numérica, se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o datos tabulados con una función aproximada que sea fácil de integrar, estas son:
- La regla de integración Trapezoidal.
- La regla de Simpson.
Estas reglas están diseñadas para casos en los que los datos a integrarse están espaciados de manera uniforme.

A continuación se describe la regla trapezoidal para la “integración cerrada” es decir, para cuando los valores de la función en los extremos de los límites de integración son conocidos

Con el método de Integración Trapezoidal se obtiene una aproximación del área bajo la curva de una función dividiéndola en n fajas de ancho Δx y aproximando el área de cada faja mediante un trapecio, como se indica en la siguiente figura:

Dada una función tabular con espaciamientos constantes, de la forma:

La fórmula de integración Trapezoidal es la siguiente: 

2.2. Ejercicio

2.3. Métodos de newton-cotes

En análisis numérico las fórmulas de Newton-Cotes (nombradas así por Isaac Newton y Roger Cotes) son un grupo de fórmulas de integración numérica de tipo interpolatorio, en las cuales se evalúa la función en puntos equidistantes, para así hallar un valor aproximado de la integral. Cuanto más intervalos se divida la función más preciso será el resultado.

Este método es eficiente si se conocen los valores de la función en puntos igualmente separados. Si se pueden cambiar los puntos en los cuales la función es evaluada otros métodos como la cuadratura de Gauss son probablemente más eficientes.

Para la integración numérica de ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx}$ utilizando las fórmulas de Newton-Cotes se subdivide el intervalo ${\displaystyle [a,b]}$ en ${\displaystyle n}$ intervalos iguales. Así se obtienen ${\displaystyle n+1}$ puntos donde se evaluará la función:

${\displaystyle a\leq x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n}\leq b.}$

Si ${\displaystyle a=x_{0}}$ y ${\displaystyle b=x_{n}}$ se denominan fórmulas cerradas de Newton-Cotes ya que los intervalos de los extremos están incluidos en la integral, si por el contrario no se tienen en cuenta se denominan fórmulas abiertas de Newton-Cotes. Para el calculo se utilizará la siguiente función:

${\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})L_{in}(x)}$

donde:

es el polinomio de Lagrange, por lo tanto se deduce que

${\displaystyle \int _{a}^{b}p(x)dx=(b-a)\sum _{i=0}^{n}f(x_{i}){\frac {1}{(b-a)}}\int _{a}^{b}L_{in}(x)dx.}$

Esta función se expresa de la siguiente forma

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\approx \int _{a}^{b}p(x)dx=(b-a)\sum _{i=0}^{n}w_{i}f(x_{i})}$

Donde los "pesos" wi están definidos por

${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{(b-a)}}\int _{a}^{b}L_{in}(x)dx}$

2.4. Método trapezoidal compuesto

Para obtener una mejor aproximación de la integral con este método, la regla del trapecio se puede ampliar si se subdivide el intervalo [a, b] en n subintervalos, todos de la misma longitud h=b−an. A este método se le conoce con el nombre de la regla del trapecio compuesta. Para aplicar este método siga los siguientes pasos:
Divida el intervalo [a, b] en subintervalos de igual medida.
Aproxime en cada subintervalo la función f(x) por una recta.
Aproxime el área bajo la curva f en el intervalo [a, b] mediante la suma de las áreas de los trapecios.
Aplique la regla del trapecio compuesta que viene dada por: 

Donde ${\displaystyle \textstyle h={\frac {b-a}{n}}}$ y n es el número de divisiones.

La expresión anterior también se puede escribir como:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\sim {\frac {b-a}{n}}\left[{\frac {f(a)+f(b)}{2}}+\sum _{k=1}^{n-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)\right]}$

El error en esta aproximación se corresponde con :

${\displaystyle -{\frac {(b-a)^{3}}{12n^{2}}}\,f''(\xi )}$

Siendo n el número de subintervalos

EJEMPLO

${\displaystyle \int _{0}^{2}3x\,dx}$ para n=6

Primero se obtiene h, de los límites de la integral que representan a y b y para n=6 queda: ${\displaystyle h={\frac {b-a}{n}}}$ ${\displaystyle ={\frac {2-0}{6}}={\frac {1}{3}}}$.

Y ahora se sustituye en la fórmula

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ = ${\displaystyle {\frac {h}{2}}[f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+...+f(b)]}$

y queda:

${\displaystyle \int _{0}^{2}3x\,dx}$ = ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{3}}[3(0)+2[3(0+1\cdot {\frac {1}{3}})]+2[3(0+2\cdot {\frac {1}{3}})]+2[3(0+3\cdot {\frac {1}{3}})]+2[3(0+4\cdot {\frac {1}{3}})]+2[3(0+5\cdot {\frac {1}{3}})]+3(2)]=6}$

En este caso no se comete ningún error en el cálculo (el resultado es exacto) porque la función sujeta a integración es lineal.

3. Regla de Simpson 1/3

La regla de Simpson 1/3 utiliza tres puntos consecutivos en donde se evalúa la función a través de un polinomio de segundo grado.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}(f_{0}+4f_{1}+f_{2})}$

Y el error es:

${\displaystyle -{\frac {(b-a)^{5}}{2880}}f^{(4)}(\xi ),}$

siendo ${\displaystyle \xi }$ un número entre a y b.

EJEMPLOS

1)

2)

3.1. Regla de Simpson 3/8

La regla de Simpson 3/8 utiliza cuatro puntos consecutivos en donde se evalúa la función a través de un polinomio de tercer grado.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {3h}{8}}(f_{0}+3f_{1}+3f_{2}+f_{3})}$.

Y el error es:

${\displaystyle -{\frac {3(b-a)^{5}}{80}}f^{(4)}(\xi ),}$

Siendo ${\displaystyle \xi }$ un número entre a y b.

4. Cuadratura de Gauss

En análisis numérico un método de cuadratura es una aproximación de una integral definida de una función. Una cuadratura de Gauss n, es una cuadratura que selecciona los puntos de la evaluación de manera óptima y no en una forma igualmente espaciada, construida para dar el resultado de un polinomio de grado 2n-1 o menos, elegibles para los puntos xi y los coeficientes wi para i=1,...,n. El dominio de tal cuadratura por regla es de [−1, 1]dada por:

${\displaystyle \int _{-1}^{1}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i})}$

Tal cuadratura dará resultados precisos solo si f(x) es aproximado por un polinomio dentro del rango [−1, 1]. Si la función puede ser escrita como f(x)=W(x)g(x), donde g(x) es un polinomio aproximado y W(x) es conocido.

${\displaystyle \int _{-1}^{1}f(x)\,dx=\int _{-1}^{1}W(x)g(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}g(x_{i}).}$

ELEMPLO

Aproxime la integral ${\displaystyle f(x)=x^{3}+2x^{2}}$ de 1 a 5 cuando n = 2 mediante el método de cuadratura de Gauss y después comparelo con el resultado exacto.

${\displaystyle \int _{1}^{5}(x^{3}+2x^{2})\,dx}$

${\displaystyle \int _{1}^{5}(x^{3}+2x^{2})\,dx=238.66667}$

${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle 2n-1=2(2)-1=3}$

Con  podemos resolver la integral con exactitud para todos los polinomios de grado igual o menor a 3 para f(x)

${\displaystyle {\frac {b-a}{2}}\int _{-1}^{1}f\left({\frac {b-a}{2}}x+{\frac {a+b}{2}}\right)\,dx={\frac {5-1}{2}}\int _{-1}^{1}f\left({\frac {5-1}{2}}x+{\frac {5+1}{2}}\right)\,dx=2\int _{-1}^{1}f\left(2x+3\right)\,dx}$

${\displaystyle \approx 2\sum _{i=1}^{2}w_{i}f(2x_{i}+3)=2(w_{1}f(2x_{1}+3)+w_{2}f(2x_{2}+3))=238.66667}$

4.1. Formula de cuadratura de Gauss con dos puntos

El objetivo de la cuadratura de Gauss - Legendre es determinar las abscisas x1 y x2 y dos coeficientes w1 y w2 de manera que la fórmula:

sea exacta para polinomios cúbicos de la forma f(x) = a3x3 + a2x2 + a1x +a0. Como hay que determinar cuatro números w1, w2, x1 y x2 en la expresión anterior, se deben seleccionar cuatro condiciones que deben cumplirse. Usando el hecho de que la integración es aditiva, será suficiente con exigir que la integral anterior sea exacta para las cuatro funciones f(x) = 1, x, x2, x3. Por lo tanto, las cuatro condiciones de integración son:

 

De esta manera, el sistema de ecuaciones no lineales que se debe resolver es:

La solución del sistema anterior está dada por:

Así, se ha encontrado los nodos y los coeficientes o pesos con los que se construye la cuadratura de Gauss - Legendre. En consecuencia, si f es continua en [-1;1], resulta:

La cuadratura de Gauss - Legendre con dos nodos G2(f) tiene grado de precisión n=3 y si f Є C4[-1;1], entonces,

siendo

para algún punto ξ Є [-1;1].

5. Diferenciación numérica

La derivación numérica es una técnica de análisis numérico para calcular una aproximación a la derivada de una función en un punto utilizando los valores y propiedades de la misma.

Por definición la derivada de una función  es:

${\displaystyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

Las aproximaciones numéricas que podamos hacer (para h > 0) serán:Diferencias hacia adelante:

${\displaystyle f^{\prime }(x_{0})\approx {\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}}$

Diferencias hacia atrás:

${\displaystyle f^{\prime }(x_{0})\approx {\frac {f(x_{0})-f(x_{0}-h)}{h}}}$

La aproximación de la derivada por este método entrega resultados aceptables con un determinado error. Para minimizar los errores se estima que el promedio de ambas entrega la mejor aproximación numérica al problema dado:Diferencias centrales:

${\displaystyle f^{\prime }(x_{0})\approx {\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)}{2h}}}$

${\displaystyle f^{\prime \prime }(x_{0})\approx {\frac {f(x_{0}+h)-2f(x_{0})+f(x_{0}-h)}{h^{2}}}}$

CONCLUSION

Por lo visto anteriormente podemos concluir que todas las integrales se pueden resolver con la utilización de estos métodos por lo que esto abre expectativas muy alentadoras para evitar el obstáculo que pueda llegar a representar una integral muy complicada de resolver de forma analítica.

BIBLIOGRAFIA.

http://test.cua.uam.mx/MN/Methods/Integracion/Trapezoidal/Trapezoidal.php

Bibliografía:

                 [Curtis,1991]          páginas 237-240.

                 [Chapra,1999]        páginas 619-630.

                 [Iriarte,1990]           páginas 127-130.

                 [James,1973]         páginas 303-316.

                 [Maron, 1995]         páginas 389.

                 [Nakamura,1992]  páginas 110-114.

                 [Nieves,1999]         páginas 393-398.

                 [Scheid,1990]        páginas 107.

                 [Smith,1988]          páginas 323-329.

https://es.wikipedia.org/wiki/Derivaci%C3%B3n_num%C3%A9rica

http://www3.fi.mdp.edu.ar/metodos/apuntes/simpson.pdf

http://www.frsn.utn.edu.ar/GIE/AN/IN/Cuadraturas_Gauss_Legendre.html

http://ing.unne.edu.ar/computacion/pub/informatica/IN.pdf

http://www.frsn.utn.edu.ar/GIE/AN/IN/Formulas_Newton_Cotes.html#La_regla_3/8_de_Simpson

http://lya.fciencias.unam.mx/gfgf/sc091/archivos/DiferenciacionNumerica.pdf