APUNTES DE CLASE.
Prawda Witenberg, Juan, Métodos y Modelos de Investigación
de Operaciones, Edit. Limusa, 1976
domingo, 8 de abril de 2018
CONCLUSIÓN.
Desde la utilización de los métodos numéricos para la solución de problemas tanto en un ámbito profesional, como en la vida cotidiana de todo ser vivo, es muy importante tenerlos presente para la obtención de resultados que den una cierta seguridad ala acción intuitiva de pensar y fundamentar los las acciones derivadas de hipótesis de supuesta seguridad.
Geogebra
Es básicamente un procesador geométrico y un procesador algebraico, es decir, un compendio de matemática con software interactivo que reúne geometría, álgebra, estadística y cálculo, por lo que puede ser usado también en física, proyecciones comerciales, estimaciones de decisión estratégica y otras disciplinas.
Su categoría más cercana es software de geometría dinámica.
GeoGebra permite el trazado dinámico de construcciones geométricas de todo tipo así como la representación gráfica, el tratamiento algebraico y el cálculo de funciones reales de variable real, sus derivadas, integrales, etc.
Wxmaxima
Wxmaxima es una potente herramienta para cálculos matemáticos para el estudio de funciones, polinomios, permite realizar cálculos algebraicos. Se pueden graficar funciones en forma 2D y 3D, especificando los límites de los ejes, graduación de la escala, etc
Convergencia.
Se entiende por convergencia de un método numérico la garantía de que, al realizar un buen número de repeticiones (iteraciones), las aproximaciones obtenidas terminan por acercarse cada vez más al verdadero valor buscado.
En la medida en la que un método numérico requiera de un menor número de iteracciones que otro, para acercarse al valor numérico deseado, se dice que tiene una mayor rapidez de convergencia.
Se entiende por estabilidad de un método numérico el nivel de garantía de convergencia, y es que algunos métodos numéricos no siempre convergen y, por el contrario divergen; es decir, se alejan cada vez más y más del resultado deseado.
En la medida en la que un método numérico, ante una muy amplia gama de posibilidades de modelado matemático, es más seguro que converja que otro, entonces se dice que tiene una mayor estabilidad.
Normalmente se puede encontrar métodos que convergen rápidamente, pero son demasiado inestables y, por el contario, modelos muy estables, pero de lenta convergencia.
En Métodos numérico la velocidad con la cual una sucesión converge a su límite es llamada orden de convergencia. Este concepto es, desde el punto de vista práctico, muy importante si necesitamos trabajar con secuencias de sucesivas aproximaciones de un método iterativo. Incluso puede hacer la diferencia entre necesitar diez o un millón de iteraciones.
Error de Truncamiento
Los errores de truncamiento se originan por el hecho de aproximar la solución analítica de un problema, por medio de un método numérico.
Errores de Redondeo.
Los errores de redondeo, se originan al realizar los cálculos que todo método numérico o analítico requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones aritméticas como los productos y los cocientes, teniendo que retener en cada operación el número de cifras que permita el instrumento de cálculo que se este utilizando. Por ejemplo al calcular el valor de ![]()
, tenemos que quedarnos solo con la mayor cantidad de cifras 3, que maneje nuestro instrumento de calculo.
Existen dos tipos de errores de redondeo:
Error de redondeo inferior: se desprecian los dígitos que no se pueden conservar dentro de la memoria correspondiente.
Error de redondeo superior: este caso tiene dos alternativas según el signo del número en particular:
- par números positivos, el último dígito que se puede conservar en la localización de memoria incrementa en una unidad si el primer dígito despreciado es mayor o igual a 5.
- para números negativos, el último dígito que se puede conservar en la localización de la memoria se reduce en una unidad si el primer dígito despreciado es mayor o igual a 5.
Existen dos tipos de errores de redondeo:
Error de redondeo inferior: se desprecian los dígitos que no se pueden conservar dentro de la memoria correspondiente.
Error de redondeo superior: este caso tiene dos alternativas según el signo del número en particular:
- par números positivos, el último dígito que se puede conservar en la localización de memoria incrementa en una unidad si el primer dígito despreciado es mayor o igual a 5.
- para números negativos, el último dígito que se puede conservar en la localización de la memoria se reduce en una unidad si el primer dígito despreciado es mayor o igual a 5.
Error Porcentual.
Es el error relativo expresado en por ciento (%). También es usual emplear el valor absoluto en los parámetros anteriores, en cuyo caso se de dominan respectivamente error absoluto, error relativo absoluto y error porcentual absoluto.
Error Relativo
Es el cociente de la división entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100, se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto, éste puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto, y no tiene unidades.
Error Absoluto
Es la diferencia entre el valor tomado y el valor medido como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida..
Aproximaciones
Representación inexacta que, sin embargo, es suficientemente fiel como para ser útil. Esta aproximación nunca es utilizada en ciencias exactas a grado profesional debido a la pérdida de información.
Algoritmos.
En el contexto matemático, los algoritmos son una serie de normas o leyes específicas que hace posible la ejecución de actividades, cumpliendo una serie de pasos continuos que no le originen dudas a la persona que realice dicha actividad. Los algoritmos se pueden expresar de diversas formas: lenguaje natural, lenguaje de programación, pseudocódigo y diagramas de flujo.
Serie de Taylor
es una aproximación de funciones mediante una serie de potencias o suma de potencias enteras de polinomios como (x-a) llamados términos de la serie, dicha suma se calcula a partir de las derivadas de la función para un determinado valor o punto suficientemente derivable sobre la función y un entorno sobre el cual converja la serie. A la serie centrada sobre el punto cero, a=0
Esta aproximación tiene tres ventajas importantes:
1.- la derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales;
2.- se puede utilizar para calcular valores aproximados de funciones;
3.- es posible calcular la optimidad de la aproximación.
Esta aproximación tiene tres ventajas importantes:
1.- la derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales;
2.- se puede utilizar para calcular valores aproximados de funciones;
3.- es posible calcular la optimidad de la aproximación.
Errores Humanos
el error humano es una expresión que indica que un seceso desfavorable esta fuertemente condicionado por la actividad de las personas que participan directa o indirectamente en la realización y control de in proceso para llegar a un resultado.
Incertidumbre
Se refiere al grado de alejamiento entre sí, a las diversas aproximaciones a un valor verdadero.
Precisión
Capacidad de dar el mismo resultado en mediciones diferentes realizadas en las mismas condiciones o de dar el resultado deseado con exactitud.
Exactitud
La exactitud depende de los errores sistemáticos que intervienen en la medición, denotando la proximidad de una medida al verdadero valor y, en consecuencia, la validez de la medida.
Aproximación y Errores
Al estar operando con cantidades en don de son factores determinados números no periódicos, o periódicos, muchas veces como analistas y creadores de resultados tendemos a dar un resultado distinto al esperado para equilibrar ya sean los descensos o incrementos obtenidos, teniendo en cuenta también que muchas veces es imposible incluir todas las cifras decimales de un numero racional, ya que algunos cuentan con cifras infinitas como es el caso del numero pi.
2. DEFINICIÓN DE MÉTODO NUMÉRICO.
Un método numérico es un procedimiento mediante el cual se obtiene, casi
siempre de manera aproximada, la solución de ciertos problemas realizando
cálculos puramente aritméticos y lógicos (operaciones aritméticas elementales,
cálculo de funciones, consulta de una tabla de valores, cálculo preposicional,
etc.). Un tal procedimiento consiste de una lista finita de instrucciones precisas
que especifican una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas (algoritmo),
que producen o bien una aproximación de la solución del problema (solución
numérica) o bien un mensaje. La eficiencia en el cálculo de dicha aproximación
depende, en parte, de la facilidad de implementación del algoritmo y de las
características especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo (los
computadores). En general, al emplear estos instrumentos de cálculo se
introducen errores llamados de redondeo.
INTRODUCCION
Hablar de la metodología que se tiene que llevar a cabo para llegar a la obtención de un resultado es meramente precisa para la concepción de beneficios que se deseen satisfacer, así pues los métodos numéricos son de mucha utilidad y fundamental requerimiento en la obtención de resultados, si bien estos resultados no son del todo precisos sino una aproximación a lo mas cercano a la realidad, de manera conjunta en métodos numéricos podemos emplear varios procedimientos en la participación para la obtención de resultados deseados, que van desde los mas simple obteniéndolos por simple concepción lógica hasta los mas estructurados en donde tiene cavidad las operaciones aritméticas.
INDICE
1. Introducción
2. Definición de métodos numéricos
3. Aproximación y Errores
3.2. Exactitud
3.3. Precisión
3.4. Incertidumbre
3.5. Errores humanos
3.6. Serie de Taylor
4. Conceptos básicos
4.1. Algoritmos
4.2. Aproximaciones
5. Tipos de errores
5.1. Error absoluto
5.2. Error relativo
5.3. Error porcentual
5.4. Errores de redondeo
5.5. Error de truncamiento
6. Convergencia
7. Programas Computacionales
7.1. Wxmaxima
7.2. Geogebra.
8. Conclusión
9. Bibliografía
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